试题

题目：
青果学院（2013·嘉定区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AC边上，且BC2=CD·CA．
（1）求证：∠A=∠CBD；
（2）当∠A=α，BC=2时，求AD的长（用含α的锐角三角比表示）．
答案
解：（1）∵BC2=CD·CA，
∴
BC
CD
=
CA
BC
，
∵∠ACB=90°，点D在AC边上，
∴∠ACB=∠BCD，
∴△ACB∽△BCD，
∴∠A=∠CBD；
（2）∵∠A=∠CBD，∠A=α，
∴∠CBD=α，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=α，
∵cot∠A=
AC
BC
，
∴AC=BC·cotα=2·cotα，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，∠CBD=α，BC=2，
∵tan∠CBD=
CD
BC
，
∴CD=BC·tanα=2tanα，
∴AD=AC-CD=2cotα-2tanα；
解：（1）∵BC2=CD·CA，
∴
BC
CD
=
CA
BC
，
∵∠ACB=90°，点D在AC边上，
∴∠ACB=∠BCD，
∴△ACB∽△BCD，
∴∠A=∠CBD；
（2）∵∠A=∠CBD，∠A=α，
∴∠CBD=α，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=α，
∵cot∠A=
AC
BC
，
∴AC=BC·cotα=2·cotα，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，∠CBD=α，BC=2，
∵tan∠CBD=
CD
BC
，
∴CD=BC·tanα=2tanα，
∴AD=AC-CD=2cotα-2tanα；
考点梳理
相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
（1）根据BC2=CD·CA，∠ACB=∠BCD，得出△ACB∽△BCD，即可证出∠A=∠CBD；
（2）根据∠A=∠CBD，∠A=α，得出∠CBD=α，根据cot∠A=
AC
BC
，得出AC=BC·cotα=2·cotα，再根据tan∠CBD=
CD
BC
，得出CD=BC·tanα=2tanα，即可得出AD=AC-CD=2cotα-2tanα；
此题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题的关键是证出△ACB∽△BCD，根据解直角三角形求出AC和CD的值．
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