试题

（2011·运河区二模）如图，在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上．
（1）若C、D恰好是边AO，OB的中点，求矩形CDEF的面积；
（2）若tan∠CDO=

4

3

，求矩形CDEF面积的最大值．

解：（1）如图，当C、D是边AO，OB的中点时，
点E、F都在边AB上，且CF⊥AB．
∵OA=OB=8，
∴OC=AC=OD=4．
∵∠AOB=90°，
∴CD=4

2

．
在 Rt△ACF中，
∵∠A=45°，
∴CF=2

2

．
∴S矩形CDEF=4

2

×2

2

=16．

（2）设CD=x，CF=y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，
∵tan∠CDO=

4

3

，
∴sin∠CDO=

4

5

，cos∠CDO=

3

5

．
∴CO=

4

5

x．
∵∠FCH+∠OCD=90°，
∴∠FCH=∠CDO．
∴HC=y·cos∠FCH=

3

5

y．
∴FH=

CF2-CH2

=

4

5

y．
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴AH=FH=

4

5

y．
∴AO=AH+HC+CO．
∴

7y

5

+

4x

5

=8．
∴y=

1

7

(40-4x)．
易知S矩形CDEF=xy=

1

7

(40x-4x2)=-

4

7

[(x-5)2-25]，
∴当x=5时，矩形CDEF面积的最大值为

100

7

．
解：（1）如图，当C、D是边AO，OB的中点时，
点E、F都在边AB上，且CF⊥AB．
∵OA=OB=8，
∴OC=AC=OD=4．
∵∠AOB=90°，
∴CD=4

2

．
在 Rt△ACF中，
∵∠A=45°，
∴CF=2

2

．
∴S矩形CDEF=4

2

×2

2

=16．

（2）设CD=x，CF=y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，
∵tan∠CDO=

4

3

，
∴sin∠CDO=

4

5

，cos∠CDO=

3

5

．
∴CO=

4

5

x．
∵∠FCH+∠OCD=90°，
∴∠FCH=∠CDO．
∴HC=y·cos∠FCH=

3

5

y．
∴FH=

CF2-CH2

=

4

5

y．
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴AH=FH=

4

5

y．
∴AO=AH+HC+CO．
∴

7y

5

+

4x

5

=8．
∴y=

1

7

(40-4x)．
易知S矩形CDEF=xy=

1

7

(40x-4x2)=-

4

7

[(x-5)2-25]，
∴当x=5时，矩形CDEF面积的最大值为

100

7

．