试题

题目：
青果学院（2010·襄阳）如图，点E，C在BF上，BE=FC，∠ABC=∠DEF=45°，∠A=∠D=90°．
（1）求证：AB=DE；
（2）若AC交DE于M，且AB=
3
，ME=
2
，将线段CE绕点C顺时针旋转，使点E旋转到AB上的G处，求旋转角∠ECG的度数．
答案
（1）证明：∵BE=FC，
∴BC=EF，
又∵∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEF，（1分）
∴AB=DE．（2分）

青果学院（2）解：∵∠DEF=∠B=45°，
∴DE∥AB，
∴∠CME=∠A=90°，（3分）
∴AC=AB=
3
，MC=ME=
2
，（4分）
∴在Rt△MEC中，EC=
ME2+MC2
=
(
2
)2+(
2
)2
=2，
∴CG=CE=2，（5分）
在Rt△CAG中，cos∠ACG=
AC
CG
=
3
2
，
∴∠ACG=30°，（6分）
∴∠ECG=∠ACB-∠ACG=45°-30°=15°．（7分）
（1）证明：∵BE=FC，
∴BC=EF，
又∵∠ABC=∠DEF，∠A=∠D，
∴△ABC≌△DEF，（1分）
∴AB=DE．（2分）

青果学院（2）解：∵∠DEF=∠B=45°，
∴DE∥AB，
∴∠CME=∠A=90°，（3分）
∴AC=AB=
3
，MC=ME=
2
，（4分）
∴在Rt△MEC中，EC=
ME2+MC2
=
(
2
)2+(
2
)2
=2，
∴CG=CE=2，（5分）
在Rt△CAG中，cos∠ACG=
AC
CG
=
3
2
，
∴∠ACG=30°，（6分）
∴∠ECG=∠ACB-∠ACG=45°-30°=15°．（7分）
考点梳理
旋转的性质；直角三角形全等的判定；锐角三角函数的定义；解直角三角形．
（1）通过证明△ABC≌△DEF即可得出AB=DE．
（2）要求角的度数就要解直角三角形，根据特殊角的三角函数值来计算．
本题综合考查了旋转变换作图，三角形全等和解直角三角形的综合应用．
计算题；证明题．
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