试题

（2012·江西模拟）如图1，在△ABC中，AD是BC上的高，EF是中位线，AD与EF相交于点O，若将△AEO与△AFO分别绕E、F两点旋转180°，可与梯形EBCF构成矩形PBCQ，我们把这样形成的矩形称为△ABC的一个等积矩形．

（1）若△ABC的边BC=5，高AD=6，则等积矩形PBCQ的长为，宽为；
（2）在图2中，∠C=90°，BC=2，AC=4，试求△ABC的所有等积矩形的长和宽；
（3）如图3中矩形的长为3，宽为2，则能形成这样的等积矩形的三角形有多少个？试探究其中周长最小的三角形的三边长．

解：（1）故答案为：5，3；      

（2）在图②中，可形成如下三个等积矩形：
在图（1）中的矩形长为2，宽为2，
在图（2）中的矩形长为4，宽为1，
在图（3）中的矩形长为

42+22

=2

5

，宽为

4×2

2×2 5

=

2 5

5

；    

（3）能形成这样的等积矩形的三角形有无数个．
其中，当以BC为底时，构成已知等积矩形的三角形的高是4，
则这样的三角形的另一顶点P在如下图（1）所示的四个矩形拼成的图形中的EF上，当P为EF的中点时，△PBC的周长最小，
PB+PC+BC=3+

32+82

=3+

73

；     
当以AB为底时，构成已知等积矩形的三角形的高是6，
这样的三角形的另一顶点P在如图（2）中的EF上，
同理当P为EF的中点时，△PAB的周长最小，
PB+PA+AB=2+

22+122

=2+2

37

； 
∵3+

73

＜12，2+2

37

＞1
∴可形成此等积矩形的三角形的周长最小值为3+

73

．
此时，三角形的三边长分别为3，

73

2

，

73

2

．