试题

题目：
青果学院（2013·广州）如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD的平分线，且AB⊥AC，AB=4，AD=6，则tanB=（　　）



答案
B
解：
青果学院
∵CA是∠BCD的平分线，
∴∠DCA=∠ACB，
又∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴DA=DC，
过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，
∵AB⊥AC，
∴DE⊥AC（等腰三角形三线合一的性质），
∴点F是AC中点，
∴AF=CF，
∴EF是△CAB的中位线，
∴EF=
1
2
AB=2，
∵
AF
FC
=
DF
EF
=1，
∴EF=DF=2，
在Rt△ADF中，AF=
AD2-DF2
=4
2
，
则AC=2AF=8
2
，
tanB=
AC
AB
=
8
2
4
=2
2
．
故选B．
考点梳理
梯形；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理．
先判断DA=DC，过点D作DE∥AB，交AC于点F，交BC于点E，由等腰三角形的性质，可得点F是AC中点，继而可得EF是△CAB的中位线，继而得出EF、DF的长度，在Rt△ADF中求出AF，然后得出AC，tanB的值即可计算．
本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理，解答本题的关键是作出辅助线，判断点F是AC中点，难度较大．
压轴题．
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