试题

（2009·兰州）如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论．

解：四边形PQMN为菱形．
证明：如图，连接AC、BD．
∵PQ为△ABC的中位线，
∴PQ

∥ .

.

1

2

AC．
同理MN

∥ .

.

1

2

AC．
∴MN

∥ .

.

PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形．
在△AEC和△DEB中，
AE=DE，EC=EB，∠AED=60°=∠CEB，
即∠AEC=∠DEB．
∴△AEC≌△DEB．
∴AC=BD．
∴PQ=

1

2

AC=

1

2

BD=PN
∴四边形PQMN为菱形．
解：四边形PQMN为菱形．
证明：如图，连接AC、BD．
∵PQ为△ABC的中位线，
∴PQ

∥ .

.

1

2

AC．
同理MN

∥ .

.

1

2

AC．
∴MN

∥ .

.

PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形．
在△AEC和△DEB中，
AE=DE，EC=EB，∠AED=60°=∠CEB，
即∠AEC=∠DEB．
∴△AEC≌△DEB．
∴AC=BD．
∴PQ=

1

2

AC=

1

2

BD=PN
∴四边形PQMN为菱形．