试题

（2011·静安区二模）已知：如图，在·ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．
（1）求证：DH=HG=BG；
（2）如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．（1分）
∴△DHF∽△BHA，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴

DH

HB

=

DF

AB

=

DF

CD

=

1

2

．（2分）
∴DH=

1

3

BD．（1分）
同理：BG=

1

3

BD．（1分）
∴DH=HG=GB=

1

3

BD．（1分）

（2）连接EF，交BD于点O．（1分）
∵AB∥CD，AB=CD，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴

FO

EO

=

OD

BO

=

DF

BE

=

1 2 CD

1 2 AB

=1．（1分）
∴FO=EO，DO=BO．（1分）
∵DH=GB，
∴OH=OG．
∴四边形EGFH是平行四边形．（1分）
∵点E、O分别是AB、BD的中点，∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥GH．（1分）
∴·HEGF是菱形．（1分）
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．（1分）
∴△DHF∽△BHA，
∵点E、F分别是AB、CD的中点，
∴

DH

HB

=

DF

AB

=

DF

CD

=

1

2

．（2分）
∴DH=

1

3

BD．（1分）
同理：BG=

1

3

BD．（1分）
∴DH=HG=GB=

1

3

BD．（1分）

（2）连接EF，交BD于点O．（1分）
∵AB∥CD，AB=CD，点E、F分别是AB、CD的中点，
∴

FO

EO

=

OD

BO

=

DF

BE

=

1 2 CD

1 2 AB

=1．（1分）
∴FO=EO，DO=BO．（1分）
∵DH=GB，
∴OH=OG．
∴四边形EGFH是平行四边形．（1分）
∵点E、O分别是AB、BD的中点，∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥GH．（1分）
∴·HEGF是菱形．（1分）