试题

如图1，四边形ABCD为正方形，E在CD上，∠DAE的平分线交CD于F，BG⊥AF于G，交AE于H．
（1）如图1，∠DEA=60°，求证：AH=DF；
（2）如图2，E是线段CD上（不与C、D重合）任一点，请问：AH与DF有何数量关系并证明你的结论；
（3）如图3，E是线段DC延长线上一点，若F是△ADE中与∠DAE相邻的外角平分线与CD的交点，其它条件不变，请判断AH与DF的数量关系（画图，直接写出结论，不需证明）．

证明：（1）延长BG交AD于点S
∵AF是HAS的角的平分线，BS⊥AF
∴∠HAG=∠SAG，∠HGA=∠SGA=90°
又∵AG=AG
∴△AGH≌△AGS
∴AH=AS，
∵AB∥CD
∴∠AFD=∠BAG，
∵∠BAG+∠ABS=∠ABS+∠ASB=90°
∴∠BAG=∠ASB
∴∠ASB=∠AFD
又∵∠BAS=∠D=90°，AB=AD
∴△ABS≌△DAF
∴DF=AS
∴DF=AH．

（2）DF=AH．
同理可证DF=AH．

（3）DF=AH．
证明：（1）延长BG交AD于点S
∵AF是HAS的角的平分线，BS⊥AF
∴∠HAG=∠SAG，∠HGA=∠SGA=90°
又∵AG=AG
∴△AGH≌△AGS
∴AH=AS，
∵AB∥CD
∴∠AFD=∠BAG，
∵∠BAG+∠ABS=∠ABS+∠ASB=90°
∴∠BAG=∠ASB
∴∠ASB=∠AFD
又∵∠BAS=∠D=90°，AB=AD
∴△ABS≌△DAF
∴DF=AS
∴DF=AH．

（2）DF=AH．
同理可证DF=AH．

（3）DF=AH．