试题

题目：
青果学院如图，已知四边形ABCD，AB∥DC，点F在AB的延长线上，连接DF交BC于E且S△DCE=S△FBE．
（1）求证：△DCE≌△FBE；
（2）若BE是△ADF的中位线，且BE+FB=6厘米，求DC+AD+AB的长．
答案
解：（1）∵AB∥DC，
∴∠DCE=∠FBE，∠CDE=∠EFB．
∴△DCE∽△FBE．
∴
S△DCE
S△FBE
=(
DC
FB
)2．
∵S△DCE=S△FBE，
∴(
DC
FB
)2=1．
∴DC=FB．
∴△DCE≌△FBE．

（2）∵BE是△ADF的中位线，
∴BE∥AD，AD=2BE，AB=FB．
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB=CD．
∵BE+FB=6，
∴DC+AD+AB=AB+2BE+AB=2（BE+FB）=12（厘米）．
解：（1）∵AB∥DC，
∴∠DCE=∠FBE，∠CDE=∠EFB．
∴△DCE∽△FBE．
∴
S△DCE
S△FBE
=(
DC
FB
)2．
∵S△DCE=S△FBE，
∴(
DC
FB
)2=1．
∴DC=FB．
∴△DCE≌△FBE．

（2）∵BE是△ADF的中位线，
∴BE∥AD，AD=2BE，AB=FB．
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB=CD．
∵BE+FB=6，
∴DC+AD+AB=AB+2BE+AB=2（BE+FB）=12（厘米）．
考点梳理
三角形中位线定理；平行线的性质；全等三角形的判定．
（1）根据AB∥DC得出△DCE∽△FBE，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方，得出两三角形的相似比为1，从而得出：△DCE≌△FBE．
（2）根据BE是△ADF的中位线得出BE∥AD，AD=2BE，AB=FB，进而得出四边形ABCD是平行四边形，求出DC+AD+AB的长．
本题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定、平行四边形的判定及其性质、三角形的中位线的性质等知识．
综合题．
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