如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连...-青果题库-青果学院

题目：

（2011·黑龙江）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A₁、B₁、C₁、D₁，顺次连接得到四边形A₁B₁C₁D₁，再取各边中点A₂、B₂、C₂、D₂，顺次连接得到四边形A₂B₂C₂D₂，…，依此类推，这样得到四边形A_nB_nC_nD_n，则四边形A_nB_nC_nD_n的面积为

16

2n

（或

8

2n-1

或

1

2n-4

，只要答案正确即可）

16

2n

（或

8

2n-1

或

1

2n-4

，只要答案正确即可）

．

答案

16

2n

（或

8

2n-1

或

1

2n-4

，只要答案正确即可）

解：∵四边形A₁B₁C₁D₁的四个顶点A₁、B₁、C₁、D₁分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴A₁B₁∥AC，A₁B₁=

1

2

AC．
∴△BA₁B₁∽△BAC．
∴△BA₁B₁和△BAC的面积比是相似比的平方，即

1

4

．
又四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是16．
推而广之，则AC=8，BD=4，四边形A_nB_nC_nD_n的面积=

8

2n-1

．
故答案为

16

2n

（或

8

2n-1

或

1

2n-4

，只要答案正确即可）．

考点梳理

三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．

试题