试题

如图，在△ABC中，E、F、G分别是AB、BC、AC边的中点，连接GE、GF，BD是AC边上的高，连接DE、DF．
（1）试判断四边形BFGE是怎样的特殊四边形？证明你的结论；
（2）求证：∠EDF=∠EGF．

解：（1）四边形BFGE是平行四边形，
∵E、F、G分别是AB、BC、AC边的中点，∴EG、GF是△ABC的中位线，
∴EG∥BC、GF∥AB，
∴四边形BFGE是平行四边形；

（2）∵四边形BFGE是平行四边形，
∴∠ABC=∠EGF（6分）
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=∠BDC=90°
又∵E、F分别是AB、BC边的中点，
∴DE=BE=

1

2

AB，DF=BF=

1

2

BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠EDB=∠EBD，∠DBF=∠BDF（8分）
∴∠EDB+∠BDF=∠EBD+∠DBF，
∴∠EDF=∠ABC，
∴∠EDF=∠EGF（10分）．
解：（1）四边形BFGE是平行四边形，
∵E、F、G分别是AB、BC、AC边的中点，∴EG、GF是△ABC的中位线，
∴EG∥BC、GF∥AB，
∴四边形BFGE是平行四边形；

（2）∵四边形BFGE是平行四边形，
∴∠ABC=∠EGF（6分）
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=∠BDC=90°
又∵E、F分别是AB、BC边的中点，
∴DE=BE=

1

2

AB，DF=BF=

1

2

BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠EDB=∠EBD，∠DBF=∠BDF（8分）
∴∠EDB+∠BDF=∠EBD+∠DBF，
∴∠EDF=∠ABC，
∴∠EDF=∠EGF（10分）．