试题

如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，AB=AC，AE⊥AC且AE=AD，连BE交AC于F．
（1）如图1，若CD=AD，试猜想BF与EF的数量关系；
（2）如图2，若CD≠AD，问题（1）BF与EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请说明理由；
（3）如图2，在第（2）问的条件下，取BC中点M，问线段MF与线段BD之间是否存在某种确定的数量关系？若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由．

解：（1）BF=EF．

（2）BF=EF仍成立，
过B点作BG⊥AC于G，
∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC
∵∠BGA=∠ADC=90°，AB=AC
∴△ABG≌△CAD，
由此得BG=AD，又AD=AE，
∴BG=AE，
又∵∠BGA=∠EAG=90°，∠BFG=∠AFE
可得△FBG≌△FEA，
∴BF=EF．

（3）MF=

1

2

BD，连接CE，可知MF是△BCE的中位线，
∴MF=

1

2

CE
∵AD=AE，AC=AB，∠CAE=∠BAD=90°，
∴△CAE≌△BAD
∴CE=BD
∴MF=

1

2

CE=

1

2

BD．
解：（1）BF=EF．

（2）BF=EF仍成立，
过B点作BG⊥AC于G，
∵CD∥AB，∴∠DCA=∠BAC
∵∠BGA=∠ADC=90°，AB=AC
∴△ABG≌△CAD，
由此得BG=AD，又AD=AE，
∴BG=AE，
又∵∠BGA=∠EAG=90°，∠BFG=∠AFE
可得△FBG≌△FEA，
∴BF=EF．

（3）MF=

1

2

BD，连接CE，可知MF是△BCE的中位线，
∴MF=

1

2

CE
∵AD=AE，AC=AB，∠CAE=∠BAD=90°，
∴△CAE≌△BAD
∴CE=BD
∴MF=

1

2

CE=

1

2

BD．