试题

如图在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD=CE，M、N分别是BE、CD的中点．过MN的直线交AB于P，交AC于Q，线段AP、AQ相等吗？为什么？

解：AP=AQ．理由如下：
如图，取BC的中点H，连接MH，NH．
∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH=

1

2

EC．
∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH=

1

2

BD．
∵BD=CE，∴MH=NH．∴∠HMN=∠HNM；
∵MH∥EC，∴∠HMN=∠PQA，
同理∠HNM=∠QPA．
∴△APQ为等腰三角形，
∴AP=AQ．
解：AP=AQ．理由如下：
如图，取BC的中点H，连接MH，NH．
∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH=

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EC．
∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH=

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BD．
∵BD=CE，∴MH=NH．∴∠HMN=∠HNM；
∵MH∥EC，∴∠HMN=∠PQA，
同理∠HNM=∠QPA．
∴△APQ为等腰三角形，
∴AP=AQ．