试题

如图，在△BEF中，∠BEF=90°，BE=EF，四边形ABCD是正方形，连接DF，G为DF的中点，连接EG、CG．证明：EG=CG，EG⊥CG．

证明：取BF中点H，连接EH，GH，连接BD，取BD中点O，连接OG，OC，
∵CB=CD，∠DCB=90°，
∴CO=

1

2

BD，
∵DG=GF，
∴GH∥BD，GH=

1

2

BD，
∴OG∥BF，OG=

1

2

BF，
∴OC=GH，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴EH=

1

2

BF，
∴EH=OG，
∴四边形OBHG是平行四边形，
∴∠BOG=∠BHG，
∵∠BOC=∠BHE=90°，
∴∠GOC=∠EHG，
在△GOC和△EHG中
∵

OG=EH ∠GOC=∠EHG OC=GH

，
∴△GOC≌△EHG（SAS），
∴EG=CG，∠EGH=∠GCO，
∴∠EGC=∠EGH+∠HGO+∠CGO，
=∠CGO+∠GCO+∠GOD，
=180°-∠DOC，
=180°-90°，
=90°，
∴EG⊥CE，即EG=CG．EG⊥CG．
证明：取BF中点H，连接EH，GH，连接BD，取BD中点O，连接OG，OC，
∵CB=CD，∠DCB=90°，
∴CO=

1

2

BD，
∵DG=GF，
∴GH∥BD，GH=

1

2

BD，
∴OG∥BF，OG=

1

2

BF，
∴OC=GH，
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴EH=

1

2

BF，
∴EH=OG，
∴四边形OBHG是平行四边形，
∴∠BOG=∠BHG，
∵∠BOC=∠BHE=90°，
∴∠GOC=∠EHG，
在△GOC和△EHG中
∵

OG=EH ∠GOC=∠EHG OC=GH

，
∴△GOC≌△EHG（SAS），
∴EG=CG，∠EGH=∠GCO，
∴∠EGC=∠EGH+∠HGO+∠CGO，
=∠CGO+∠GCO+∠GOD，
=180°-∠DOC，
=180°-90°，
=90°，
∴EG⊥CE，即EG=CG．EG⊥CG．