试题

如图，在△ABC中，D为BC的中点，点E、F分别在边AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于点O．过点O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q为垂足．求证：DP=DQ．

证明：如图，取OB中点M，OC中点N，连接MD，MQ，DN，PN．
∵D为BC的中点
∴DM∥OC，DM=

1

2

OC，DN∥OB，DN=

1

2

OB．
∵在Rt△BOQ和Rt△OCP中，QM=

1

2

OB，PN=

1

2

OC．
∴DM=PN，QM=DN．∠QMD=∠QMO+∠OMD=2∠ABO+∠FOB，
∠PND=∠PNO+∠OND=2∠ACO+∠EOC．
∵∠ABO=∠ACO，∠FOB=∠EOC，
∴∠QMD=∠PND．
∴△QMD≌△DNP，
∴DQ=DP．
证明：如图，取OB中点M，OC中点N，连接MD，MQ，DN，PN．
∵D为BC的中点
∴DM∥OC，DM=

1

2

OC，DN∥OB，DN=

1

2

OB．
∵在Rt△BOQ和Rt△OCP中，QM=

1

2

OB，PN=

1

2

OC．
∴DM=PN，QM=DN．∠QMD=∠QMO+∠OMD=2∠ABO+∠FOB，
∠PND=∠PNO+∠OND=2∠ACO+∠EOC．
∵∠ABO=∠ACO，∠FOB=∠EOC，
∴∠QMD=∠PND．
∴△QMD≌△DNP，
∴DQ=DP．