试题

题目：
青果学院如图所示，在△ABC中，D、E是AC、BC的中点，BF=
1
3
AB，BD与FC相交于点G，连接EG
（1）求证：EG∥AC；
（2）求S△BFG/S△BEG的比值．
答案
青果学院（1）证明：取AF的中点H，连接HD，
∵D是AC的中点，
∴DH∥FC，
∵BF=
1
3
AB，
∴BF=FH，
∴BG=GD，
∴G是BD的中点，
∵E是BC的中点，
∴EG∥AC；

（2）解：设S△BFG=a，
∵BF=
1
3
AB，G是BD的中点，
∴S△ABD=2×3×a=6a，
∵D是AC的中点，
∴S△ABC=12a，
∴S△BFG=
1
12
S△ABC，
设S△BGE=b，
∵EG∥AC，
∴△BGE∽△BDC，
∴
S△BGE
S△BCD
=(
BE
BC
)2=(
1
2
)2=
1
4
，
∴S△BCD=4b，
∵D是AC的中点，
∴S△ABC=8b，
故S△BEG=
1
8
S△ABC，
∴
S△BFG
S△BEG
=
1
12
S△ABC
1
8
S△ABC
=
2
3
．
青果学院（1）证明：取AF的中点H，连接HD，
∵D是AC的中点，
∴DH∥FC，
∵BF=
1
3
AB，
∴BF=FH，
∴BG=GD，
∴G是BD的中点，
∵E是BC的中点，
∴EG∥AC；

（2）解：设S△BFG=a，
∵BF=
1
3
AB，G是BD的中点，
∴S△ABD=2×3×a=6a，
∵D是AC的中点，
∴S△ABC=12a，
∴S△BFG=
1
12
S△ABC，
设S△BGE=b，
∵EG∥AC，
∴△BGE∽△BDC，
∴
S△BGE
S△BCD
=(
BE
BC
)2=(
1
2
)2=
1
4
，
∴S△BCD=4b，
∵D是AC的中点，
∴S△ABC=8b，
故S△BEG=
1
8
S△ABC，
∴
S△BFG
S△BEG
=
1
12
S△ABC
1
8
S△ABC
=
2
3
．
考点梳理
三角形中位线定理；三角形的面积．
（1）根据三角形中位线的性质，首先作出辅助线：取AF的中点H，连接HD，即可得到：DH∥FC，则可得到G是BD的中点，则问题得证；
（2）首先设S△BFG=a，由BF=
1
3
AB，G是BD的中点，可得S△ABD=2×3×a=6a，又由D是AC的中点，可得S△ABC=12a，即得S△BFG=
1
12
S△ABC，同理可求得：S△BEG=
1
8
S△ABC，则问题得解．
此题考查了三角形中位线的性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方与等高三角形面积的比等于其对应底的比等知识．准确作出辅助线是解决此题的关键．注意数形结合思想的应用．
计算题；证明题．
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