试题

题目：
青果学院如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，点F是BC的中点，BP⊥AD于D，AC=12，AB=8，求PF的长．
答案
青果学院解：延长BP交AC于点E，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAP=∠EAP，
∵BP⊥AD于D，
∴∠APB=∠APE=90°，
在△APB和△APE中，
∵
∠BAP=∠EAP
AP=AP
∠APB=∠APE=90°
，
∴△APB≌△APE（ASA），
∴AB=AE=8，
∵AC=12，
∴EC=12-8=4，
∵△APB≌△APE，
∴BP=EP，
∵F是BC的中点，
∴PF=
1
2
EC=
1
2
×4=2．
青果学院解：延长BP交AC于点E，
∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAP=∠EAP，
∵BP⊥AD于D，
∴∠APB=∠APE=90°，
在△APB和△APE中，
∵
∠BAP=∠EAP
AP=AP
∠APB=∠APE=90°
，
∴△APB≌△APE（ASA），
∴AB=AE=8，
∵AC=12，
∴EC=12-8=4，
∵△APB≌△APE，
∴BP=EP，
∵F是BC的中点，
∴PF=
1
2
EC=
1
2
×4=2．
考点梳理
三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
延长BP交AC于点E，首先证明△APB≌△APE，可得AB=AE=8，PE=PB，进而得到EC=4，再根据三角形中位线定理可以计算出PF=
1
2
EC=2．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线定理，关键是证明出△APB≌△APE，得到AB=AE=8，PE=PB．
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