试题

题目：
青果学院如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．
试说明：（1）DE∥BC；（2）DE=
1
2
（BC-AC）．
答案
青果学院证明：延长AD交BC于F．
（1）∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠FDC=90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠FCD．
在△ACD与△FCD中，
∠ADC=∠FDC DC=DC∠ACD=∠FCD，
∴△ACD≌△FCD．
∴AC=FC AD=DF．
又∵E为AB的中点，
∴DE∥BF，
即DE∥BC．

（2）由（1）知AC=FC，DE=
1
2
BF，
∴DE=
1
2
（BC-FC）=
1
2
（BC-AC）．
青果学院证明：延长AD交BC于F．
（1）∵AD⊥CD，
∴∠ADC=∠FDC=90°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠FCD．
在△ACD与△FCD中，
∠ADC=∠FDC DC=DC∠ACD=∠FCD，
∴△ACD≌△FCD．
∴AC=FC AD=DF．
又∵E为AB的中点，
∴DE∥BF，
即DE∥BC．

（2）由（1）知AC=FC，DE=
1
2
BF，
∴DE=
1
2
（BC-FC）=
1
2
（BC-AC）．
考点梳理
三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质．
由CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D．可得到作辅助线方法：延长AD交BC于F点得到全等三角形．进而利用中位线知识求解．
本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定，解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题．
证明题．
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