试题

题目：
青果学院如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，试判断AB+CD与AD+BC的大小，并证明你的结论．
答案
解：作梯形ABCD的中位线EF，连接OE、OF，
即EF=
1
2
（AD+BC），
∵AC⊥BD，
∵∠AOB=∠DOC=90°，青果学院
∵E为AB中点，F为DC中点，
∴OE=
1
2
AB，OF=
1
2
CD，
∵在△OEF中，OE+OF＞EF，
∴
1
2
AB+
1
2
CD＞
1
2
（AD+BC），
∴AB+CD＞AD+BC，
∴AD+BC＜AB+CD．
解：作梯形ABCD的中位线EF，连接OE、OF，
即EF=
1
2
（AD+BC），
∵AC⊥BD，
∵∠AOB=∠DOC=90°，青果学院
∵E为AB中点，F为DC中点，
∴OE=
1
2
AB，OF=
1
2
CD，
∵在△OEF中，OE+OF＞EF，
∴
1
2
AB+
1
2
CD＞
1
2
（AD+BC），
∴AB+CD＞AD+BC，
∴AD+BC＜AB+CD．
考点梳理
梯形；三角形三边关系；三角形中位线定理．
作梯形ABCD的中位线EF，连接OE、OF，根据梯形中位线定理得出EF=
1
2
（AD+BC），根据直角三角形斜边上中线定理得出OE=
1
2
AB，OF=
1
2
CD，在△OEF中根据三角形三边关系定理得出OE+OF＞EF，代入即可求出AB+CD＞AD+BC．
此题的难点在于将所求的线段转换到同一个三角形中，而正确地作出辅助线是顺利解题的前提；题目综合了梯形的中位线，三角形的三边关系定理，直角三角形斜边上中线定理等重要知识点，难度较大．
证明题．
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