试题

如图所示．D，E分别在AB，AC上，BD=CE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于P，Q．求证：AP=AQ．

证明：找到BC的中点H，连接MH，NH．如图：
∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH=

1

2

EC．
∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH=

1

2

BD．
∵BD=CE，∴MH=NH．∴∠HMN=∠HNM；
∵MH∥EC，∴∠HMN=∠PQA，
同理∠HNM=∠QPA．
∴△APQ为等腰三角形，
∴AP=AQ．
证明：找到BC的中点H，连接MH，NH．如图：
∵M，H为BE，BC的中点，∴MH∥EC，且MH=

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EC．
∵N，H为CD，BC的中点，∴NH∥BD，且NH=

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BD．
∵BD=CE，∴MH=NH．∴∠HMN=∠HNM；
∵MH∥EC，∴∠HMN=∠PQA，
同理∠HNM=∠QPA．
∴△APQ为等腰三角形，
∴AP=AQ．