试题

题目：
青果学院如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，则四边形PQMN的形状为（　　）



答案
C
青果学院解：连接BD、AC；
∵△ADE、△ECB是等边三角形，
∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°；
∴∠AEC=∠DEB=120°；
∴△AEC≌△DEB；
∴AC=BD；
∵M、N是CD、AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，即MN=
1
2
AC，
同理可证得：NP=
1
2
DB，QP=
1
2
AC，MQ=
1
2
BD，
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形；
故选C．
考点梳理
三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
连接AC与BD，首先证得：△AEC≌△DEB，即可得到AC=BD，然后利用三角形的中位线定理证得四边形MNPQ的对边平行且相等，并且邻边相等，从而证得四边形MNPQ是菱形．
此题主要考查的是菱形的判定方法，能发现并构建出全等三角形，是解答本题的关键．
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