试题

题目：
青果学院（2005·湖州）如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD，CD的延长线分别交于AB，AC于点E，F．若
1
CE
+
1
BF
=6，则△ABC的边长为（　　）



答案
C
青果学院解：过点A作直线PQ∥BC，延长BD交PQ于点P；延长CD，交PQ于点Q．
∵PQ∥BC，
∴△PQD∽△BCD，
∵点D在△ABC的中位线上，
∴△PQD与△BCD的高相等，
∴△PQD≌△BCD，
∴PQ=BC，
∵AE=AC-CE，AF=AB-BF，
在△BCE与△PAE中，∠PAE=∠ACB，∠APE=∠CBE，
∴△BCE∽△PAE，
AE
CE
=
AP
BC
…①
同理：△CBF∽△QAF，
AF
BF
=
AQ
BC
…②
①+②，得：
AC-CE
CE
+
AB-BF
BF
=
AP+AQ
BC
．
∴
AC
CE
+
AB
BF
=3，
又∵
1
CE
+
1
BF
=6，AC=AB，
∴△ABC的边长=
1
2
．
故选C．
考点梳理
三角形中位线定理；等边三角形的性质．
过点A作直线PQ∥BC，延长BE交PQ于点P；延长CF，交PQ于点Q．证明△BCE∽△PAE，△CBF∽△QAF，
构造
1
CE
+
1
BF
与BC的关系求解．
本题综合考查了三角形中位线定理及三角形的相似的知识，解题的关键是作平行线构造相似，从而得到已知与所求线段的关系．
压轴题．
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