试题

题目：
（1）阅读以下内容：
(x-1)(x+1)=x2-1
(x-1)(x2+x+1)=x3-1
(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1
…

①根据以上规律，可得（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x+1）=
xn+1-1
xn+1-1
（n为正整数）；
②根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…22011+22012+22013=
22014-1
22014-1
．
（2）阅读下列材料，回答问题：
关于x的方程：x+
1
x
=a+
1
a
的解是x1=a，x2=
1
a
；x+
2
x
=a+
2
a
的解是x1=a，x2=
2
a
；x+
3
x
=a+
3
a
的解是x1=a，x2=
3
a
；
…
①请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程x+
m
x
=a+
m
a
(m≠0)的解；
②请你写出关于x的方程x+
2
x-3
=m+
2
m-3
的解．
答案
xn+1-1

22014-1

解：（1）①根据题意得：（x-1）（xn+xn-1+xn-2+…+x+1）=xn+1-1；
②原式=（2-1）（1+2+22+23+24+…22011+22012+22013）-1
=22014-1；

（2）①根据题意得：方程的解为x1=a，x2=
m
a
；
②方程变形得：x-3+
2
x-3
=m-3+
2
m-3
，
∴x-3=m-3，x-3=
2
m-3
，
则x1=m，x2=
3m-7
m-3
．
故答案为：（1）①xn+1-1；②22014-1
考点梳理
分式方程的解；平方差公式．
（1）①观察一系列等式得到一般性规律，即可确定出所求式子的结果；②利用得出的规律计算即可得到结果；
（2）①观察一系列方程的解得出一般性规律，即可得到所求方程的解；②方程变形后，利用得出的规律即可求出解．
此题考查了分式方程的解，属于规律型试题，弄清题中的规律是解本题的关键．
规律型．
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