试题

题目：
已知：a2-b2=（a-b）（a+b）；a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）；a4-b4=（a-b）（a3+a2b+ab2+b3）；a5-b5=（a-b）（a4+a3b+a2b2+ab3+b4）按此规律，则：
（1）a6-b6=（a-b）
（a-b）（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）
（a-b）（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）
；
（2）若a-
1
a
=3，请你根据上述规律求出代数式a3-
1
a3
的值．
答案
（a-b）（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）

解：（1）根据规律可知，a6-b6=（a-b）（a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5）；

（2）a3-
1
a3

=（a-
1
a
）（a2+a·
1
a
+
1
a2
）
=（a-
1
a
）（a2+a·
1
a
+
1
a2
）
=（a-
1
a
）（a2+
1
a2
+1）
=（a-
1
a
）（a2+
1
a2
+2a·
1
a
-2a·
1
a
+1）
=（a-
1
a
）[（a2+
1
a2
-2a·
1
a
）+2+1]
=（a-
1
a
）[（a-
1
a
）2+3]
=3×（32+3）
=3×12
=36．
考点梳理
平方差公式．
（1）根据规律，在式子中，a的指数由高到低，b的指数由低到高．
（2）将a和
1
a
分别看作一个数，代入a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）即可计算．
本题考查了平方差公式，观察式子特点、找出规律是解题的关键．
规律型．
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