观察下列各式（x-1）（x+1）=x2-1（x-1）（x2+x+1）=x3-1（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…（1）分解因式：x5-1=；（2）根据规律可得（x-1）（...-青果题库-青果学院

题目：

观察下列各式
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
…
（1）分解因式：x⁵-1=

（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）

；
（2）根据规律可得（x-1）（x^n-1+…+x+1）=

xⁿ-1

（其中n为正整数）；
（3）计算：（3-1）（3⁵⁰+3⁴⁹+3⁴⁸+…+3²+3+1）；
（4）计算：（-2）¹⁹⁹⁹+（-2）¹⁹⁹⁸+（-2）¹⁹⁹⁷+…+（-2）³+（-2）²+（-2）+1．

答案

（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）

xⁿ-1

解：（1）分解因式：x⁵-1=（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）；

（2）（x-1）（x^n-1+…+x+1）=xⁿ-1；

（3）（3-1）（3⁵⁰+3⁴⁹+3⁴⁸+…+3²+3+1）=3⁵¹-1．

（4）∵（-2-1）[（-2）¹⁹⁹⁹+（-2）¹⁹⁹⁸+（-2）¹⁹⁹⁷+…+（-2）³+（-2）²+（-2）+1]，
=（-2）²⁰⁰⁰-1，
=2²⁰⁰⁰-1，
∴（-2）¹⁹⁹⁹+（-2）¹⁹⁹⁸+（-2）¹⁹⁹⁷+…+（-2）³+（-2）²+（-2）+1=-

22000-1

3

．

考点梳理

平方差公式．

试题