试题

如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC和∠BCD的平分线的交点E在AD上．
求证：
（1）点E是AD的中点；   
（2）BC=AB+CD．

证明：延长CE交BA的延长线于点F．
∵CE和BE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，即∠ECB=

1

2

∠DCB，∠EBC=

1

2

∠CBA，
又∵AB∥CD，
∴∠DCB+∠CBA=180°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，
∴∠CEB=90°，即BE⊥EC，
∵AB∥CD
∴∠DCE=∠F，∠D=∠DAB，
又∵∠DCE=∠ECB，
∴∠F=∠ECB
∴BF=BC，EC=EF．
在△DCE和△AFE中，

∠DCE=∠F EC=EF ∠DEC=∠AEF

，
∴△DCE≌△AFE，
∴DE=AE，即E是AD的中点，DC=AF，
∴BC=BF=AB+CD．
证明：延长CE交BA的延长线于点F．
∵CE和BE分别是∠ABC和∠BCD的平分线，即∠ECB=

1

2

∠DCB，∠EBC=

1

2

∠CBA，
又∵AB∥CD，
∴∠DCB+∠CBA=180°，
∴∠ECB+∠EBC=90°，
∴∠CEB=90°，即BE⊥EC，
∵AB∥CD
∴∠DCE=∠F，∠D=∠DAB，
又∵∠DCE=∠ECB，
∴∠F=∠ECB
∴BF=BC，EC=EF．
在△DCE和△AFE中，

∠DCE=∠F EC=EF ∠DEC=∠AEF

，
∴△DCE≌△AFE，
∴DE=AE，即E是AD的中点，DC=AF，
∴BC=BF=AB+CD．