试题

题目：
设O为△ABC内任意一点，AO，BO，CO分别交对边于A1，B1，C1，令W=
AO
OA1
·
BO
OB1
+
AO
OA1
·
CO
OC1
+
BO
OB1
·
CO
OC1
．求证：W≥12．
答案
青果学院证明：过A作AN⊥BC于N，过O作OM⊥BC于M，
设△OBC、△OAB、△OAC的面积分别为Sa、Sc、Sb，
则AN∥OM，
∴
AN
OM
=
AA1
OA1
，
由面积公式得：
S△ABC
S△OBC
=
1
2
·BC·AN
1
2
·BC· OM
，
=
AN
OM
，
=
AA1
OA1
，
即：
AO
OA1
=
Sb+Sc
Sa
，
同理：
BO
OB1
=
Sa+Sc
Sb
，
CO
OC1
=
Sa+Sb
Sc
，由基本不等式的性质的：
AO
OA1
·
BO
OB1
·
CO
OC1
=
Sb+Sc
Sa
·
Sa+Sc
Sb
·
Sa+Sb
Sc
≥
2
Sb·Sc
·2
Sa·Sc
·2
Sa·Sb
Sa·Sb·Sc
=8．
再由平均值不等式得W≥3
3(
AO
OA1
·
BO
OB1
)·(
AO
OA1
·
CO
OC1
)·(
BO
OB1
·
CO
OC1
)
=3
3(
AO
OA1
·
BO
OB1
·
CO
OC1
)2
≥3
382
=12．
即W≥12，当且仅当O为三角形的重心时取等号．
∴W≥12．
青果学院证明：过A作AN⊥BC于N，过O作OM⊥BC于M，
设△OBC、△OAB、△OAC的面积分别为Sa、Sc、Sb，
则AN∥OM，
∴
AN
OM
=
AA1
OA1
，
由面积公式得：
S△ABC
S△OBC
=
1
2
·BC·AN
1
2
·BC· OM
，
=
AN
OM
，
=
AA1
OA1
，
即：
AO
OA1
=
Sb+Sc
Sa
，
同理：
BO
OB1
=
Sa+Sc
Sb
，
CO
OC1
=
Sa+Sb
Sc
，由基本不等式的性质的：
AO
OA1
·
BO
OB1
·
CO
OC1
=
Sb+Sc
Sa
·
Sa+Sc
Sb
·
Sa+Sb
Sc
≥
2
Sb·Sc
·2
Sa·Sc
·2
Sa·Sb
Sa·Sb·Sc
=8．
再由平均值不等式得W≥3
3(
AO
OA1
·
BO
OB1
)·(
AO
OA1
·
CO
OC1
)·(
BO
OB1
·
CO
OC1
)
=3
3(
AO
OA1
·
BO
OB1
·
CO
OC1
)2
≥3
382
=12．
即W≥12，当且仅当O为三角形的重心时取等号．
∴W≥12．
考点梳理
三角形的五心；一元二次不等式；三角形的面积．
首先过A作AN⊥BC于N，过O作OM⊥BC于M，设△OBC、△OAB、△OAC的面积分别为Sa、Sc、Sb，根据三角形的面积公式求出
AO
OA1
、
BO
OB1
、
CO
OC1
的值，进一步计算出
AO
OA1
·
BO
OB1
·
CO
OC1
的值，再由平均值不等式进一步推出W≥3
382
，即可求出答案．
本题主要考查了三角形的五心，三角形的面积公式，平均值不等式等知识点，正确利用三角形的面积公式和平均值不等式是解此题的关键．此题是一个拔高的题目，难度较大．
计算题．
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