试题

题目：
在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．
答案
青果学院证明：如图，连接PA，PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则
S△ABC=S△PAB+S△PCB+S△PCA
=
1
2
cz +
1
2
ax+
1
2
by
所以ax+by+cz=2S△ABC，
即ax+by+cz为常数．
说明若△ABC为等边三角形，则
x+y+z=
2S△ABC
a
=h
此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．
青果学院证明：如图，连接PA，PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则
S△ABC=S△PAB+S△PCB+S△PCA
=
1
2
cz +
1
2
ax+
1
2
by
所以ax+by+cz=2S△ABC，
即ax+by+cz为常数．
说明若△ABC为等边三角形，则
x+y+z=
2S△ABC
a
=h
此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．
考点梳理
三角形的面积．
连接PA，PB，PC，利用三角形面积等于所分割的三部分之和进行计算和证明．
考查了三角形面积公式的应用．关键在于把三角形分割为三部分，求出各部分面积之和．
证明题．
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