如图，对面积为s的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，...-青果题库-青果学院

题目：

（2012·青羊区一模）如图，对面积为s的△ABC逐次进行以下操作：
第一次操作，分别延长AB、BC、CA至点A₁、B₁、C₁，使得A₁B=2AB，B₁C=2BC，C₁A=2CA，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，记其面积为S₁；
第二次操作，分别延长A₁B₁、B₁C₁、C₁A₁至点A₂、B₂、C₂，使得A₂B₁=2A₁B₁，B₂C₁=2B₁C₁，C₂A₁=2C₁A₁顺次连接A₂、B₂、C₂，得到△A₂B₂C₂，记其面积为S₂；
…；
按此规律继续下去，可得到△A_nB_nC_n，则其面积S_n=

19ⁿ·S

．

答案

19ⁿ·S

解：连接A₁C；
△AA₁C=3△ABC=3，
△AA₁C₁=2△AA₁C=6，
所以△A₁B₁C₁=6×3+1=19；
同理得△A₂B₂C₂=19×19=361；
△A₃B₃C₃=361×19=6859，
△A₄B₄C₄=6859×19=130321，
△A₅B₅C₅=130321×19=2476099，
从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的19倍，所以延长第n次后，得到△A_nB_nC_n，
则其面积S_n=19ⁿ·S．

考点梳理

三角形的面积．

试题