试题

（1997·新疆）已知如图⊙A和⊙B外切于点P，它们的半径分别为R和r，CD是它们的外公切线，切点分别为C、D，且

CP

的弧长为1．
（1）求证：S_阴影=

(CD-1)R+r·CD

2

（2）当R=6cm，r=2cm时，求S阴影．

（1）证明：连接AP、AC，
∵CD是⊙A、⊙B的公切线，
∴四边形ACDB是直角梯形，
∴S_梯形ACDB=

1

2

（AC+BD）·CD=

1

2

（R+r）·CD，
∵

CP

的弧长为1，
∴S_扇形CAP=

1

2

×1×R=

1

2

R，
∴S_阴影=S_梯形ACDB-S_扇形CAP=

1

2

（R+r）·CD-

1

2

R=

(CD-1)R+r·CD

2

；

（2）解：过点B作BE⊥AC于E，
∵CD是它们的外公切线，切点分别为C、D，
∴AC⊥CD，BD⊥CD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴BE=CD，AE=AC-BD=R-r=6-2=4（cm），
∵AB=AP+PB=6+2=8（cm），
 在Rt△ABE中，BE=

AB2-AE2

=4

3

（cm），
∴CD=4

3

cm，
∴S_阴影=

(CD-1)R+r·CD

2

=

(4 3 -1)×6+2×4 3

2

=16

3

-3（cm²）．
（1）证明：连接AP、AC，
∵CD是⊙A、⊙B的公切线，
∴四边形ACDB是直角梯形，
∴S_梯形ACDB=

1

2

（AC+BD）·CD=

1

2

（R+r）·CD，
∵

CP

的弧长为1，
∴S_扇形CAP=

1

2

×1×R=

1

2

R，
∴S_阴影=S_梯形ACDB-S_扇形CAP=

1

2

（R+r）·CD-

1

2

R=

(CD-1)R+r·CD

2

；

（2）解：过点B作BE⊥AC于E，
∵CD是它们的外公切线，切点分别为C、D，
∴AC⊥CD，BD⊥CD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴BE=CD，AE=AC-BD=R-r=6-2=4（cm），
∵AB=AP+PB=6+2=8（cm），
 在Rt△ABE中，BE=

AB2-AE2

=4

3

（cm），
∴CD=4

3

cm，
∴S_阴影=

(CD-1)R+r·CD

2

=

(4 3 -1)×6+2×4 3

2

=16

3

-3（cm²）．