试题

（2002·黄石）如图，已知⊙O的圆心在坐标原点，半径为2，过圆上一点T（

2

，

2

）的切线交x轴于A点，交y轴于B点．
（1）求OA、OB的长；
（2）在切线AB上取一点C，以C为圆心，半径为r的⊙C与⊙O外切于P点，两圆的内公切线PM交OT的延长线于M，过M点作⊙C的切线MN，切点为N．求证：MN=TC且MN∥TC；
（3）若（2）中的⊙C的圆心在AB上移动且始终与⊙O外切（即r在变化），N点坐标为（x，y），问N点的坐标x，y能否写成与r无关的关系式？若能，请写出关系式；若不能，请说明理由．

（1）解：过T作TG⊥x轴于G；
∵T点坐标（

2

，

2

），
∴OG=GT=

2

，
∴∠TOG=45°，
∴∠OAB=45°，
即△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=OB=

2

OT=2

2

．

（2）证明：∵PM是两圆的内公切线，
∴MP⊥OC，
∴Rt△MOP≌Rt△COT，
∴MP=CT；
又MN、MP是⊙C的切线长，
∴MP=MN，
∴MN=TC ①，
又由上，得OC=MO，
∴r+2=MT+2，MT=r；
∵CN=r，
∴MT=NC，
∵∠MNC=∠MTC=90°，
∴MN∥TC②，
∴MN=TC．

（3）解：能写成与r无关的式子，设直线MN交x轴于D，过N作NH⊥x轴于H；
由（1）、（2）可知，△OMD、△NHD都是等腰直角三角形，
∴OD=OH+HD=OH+HN=x+y，即OD=x+y；
又OD=

2

OM=

2

（2+r），
∴x+y=

2

(2+r)①，
MN=MD-ND=OM-ND=（2+r）-

2

y，
即MN=（2+r）-

2

y；
在Rt△OTC中，
由OT²+TC²=OC²，又TC=MN，
∴2²+[（2+r）-

2

y]²=（2+r）²②；
由①，得2+r=

1

2

(x+y)，代入②得：4+[

1

2

(x+y)-

2

y]²=（

x+y

2

）²，
解得xy=2，y=

2

x

．
（1）解：过T作TG⊥x轴于G；
∵T点坐标（

2

，

2

），
∴OG=GT=

2

，
∴∠TOG=45°，
∴∠OAB=45°，
即△AOB是等腰直角三角形，
∴OA=OB=

2

OT=2

2

．

（2）证明：∵PM是两圆的内公切线，
∴MP⊥OC，
∴Rt△MOP≌Rt△COT，
∴MP=CT；
又MN、MP是⊙C的切线长，
∴MP=MN，
∴MN=TC ①，
又由上，得OC=MO，
∴r+2=MT+2，MT=r；
∵CN=r，
∴MT=NC，
∵∠MNC=∠MTC=90°，
∴MN∥TC②，
∴MN=TC．

（3）解：能写成与r无关的式子，设直线MN交x轴于D，过N作NH⊥x轴于H；
由（1）、（2）可知，△OMD、△NHD都是等腰直角三角形，
∴OD=OH+HD=OH+HN=x+y，即OD=x+y；
又OD=

2

OM=

2

（2+r），
∴x+y=

2

(2+r)①，
MN=MD-ND=OM-ND=（2+r）-

2

y，
即MN=（2+r）-

2

y；
在Rt△OTC中，
由OT²+TC²=OC²，又TC=MN，
∴2²+[（2+r）-

2

y]²=（2+r）²②；
由①，得2+r=

1

2

(x+y)，代入②得：4+[

1

2

(x+y)-

2

y]²=（

x+y

2

）²，
解得xy=2，y=

2

x

．