试题

题目：
青果学院半径分别为2、3的两圆⊙P、⊙Q外切于点B，AB、BC分别是它们的直径，点D在☉Q上，连接DA交⊙P于点E，连接BD、BE，BD正好平分∠CBE．
（1）试说明：AD是⊙Q的切线
（2）试通过三角形相似求BE的长
（3）试求BD的长．
答案
（1）解：连接QD，青果学院
∵QD=QB，
∴∠QDB=∠QBD，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠QDB，
∴QD∥BE，
∵AB是⊙P的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠QDE=∠AEB=90°，
∴AD是⊙Q的切线．

（2）解：∵BE∥QD，
∴△AEB∽△ADQ，
∴
BE
QD
=
AB
AQ
，
∴
BE
3
=
2+2
2+2+3
，
∴BE=
12
7
．

（3）解：在△AEB中，由勾股定理得：AE=
AB2-BE2
=
8
10
7
，
∵BE∥QD，
∴
AE
DE
=
AB
BQ
，
即
8
10
7
DE
=
2+2
3
，
∴DE=
6
10
7
，
在△BED中，由勾股定理得：BD=
DE2+BE2
=
(
6
10
7
)2+(
12
7
)2
=
6
14
7
，
∴BD=
6
7
14
．
（1）解：连接QD，青果学院
∵QD=QB，
∴∠QDB=∠QBD，
∵BD平分∠CBE，
∴∠EBD=∠CBD，
∴∠EBD=∠QDB，
∴QD∥BE，
∵AB是⊙P的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠QDE=∠AEB=90°，
∴AD是⊙Q的切线．

（2）解：∵BE∥QD，
∴△AEB∽△ADQ，
∴
BE
QD
=
AB
AQ
，
∴
BE
3
=
2+2
2+2+3
，
∴BE=
12
7
．

（3）解：在△AEB中，由勾股定理得：AE=
AB2-BE2
=
8
10
7
，
∵BE∥QD，
∴
AE
DE
=
AB
BQ
，
即
8
10
7
DE
=
2+2
3
，
∴DE=
6
10
7
，
在△BED中，由勾股定理得：BD=
DE2+BE2
=
(
6
10
7
)2+(
12
7
)2
=
6
14
7
，
∴BD=
6
7
14
．
考点梳理
相切两圆的性质；勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质．
（1）连接QD，推出∠QDB=∠QBD=∠EBD，推出QD∥BE，根据圆周角定理求出∠AEB=90°，推出QD⊥AD即可；
（2）根据平行得出△AEB∽△ADQ，得出比例式，代入求出BE即可；
（3）根据勾股定理求出AE，根据平行线分线段成比例定理求出DE，根据勾股定理求出BD即可．
本题考查了相切两圆的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，切线的判定等知识点的应用，主要检查学生能否熟练的运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性也比较强，难度适中．
证明题．
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