试题

如图1，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）t为何值时，四边形APQD为矩形？
（2）当P在AB上运动时，t为何值时，直线PQ与以AD为直径的圆相切？
（3）如图2，如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？

解：（1）根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．
此时，4t=20-t，解得t=4（s）．
答：t为4s时，四边形APQD为矩形；

（2）如图所示：
当PQ切圆于点E，过点Q作QF⊥AB于点F，
则AP=PE=4t，DQ=EQ=20-t，QF=AD=4，PF=DQ-AP=20-t-4t=20-5t，
PQ=DQ+PE=20-t+4t=20+3t，
∵PF²+QF²=PQ ²，
∴（20-5t）²+4²=（20+3t） ²，
解得：t=10+3

11

（舍去）或t=10-3

11

t为10-3

11

秒时，直线PQ与以AD为直径的圆相切；
（3）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切．
①如果点P在AB上运动．如图3
只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4．
由（1），得t=4（s）；
②如果点P在BC上运动，图右图．
此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，
∴⊙P与⊙Q外离；
③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧，如右图．
可得CQ=t，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，⊙P与⊙Q外切．
此时，t-（4t-24）=4，
解得 t=

20

3

（s）；
④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧，如右图．
当CP-CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．
此时，4t-24-t=4，
解得 t=

28

3

（s），
∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s，
点Q从C开始沿CD边移动到D需要20s，
而

28

3

＜11，
∴当t为4s，

20

3

s，

28

3

s时，
⊙P与⊙Q外切．
解：（1）根据题意，当AP=DQ时，四边形APQD为矩形．
此时，4t=20-t，解得t=4（s）．
答：t为4s时，四边形APQD为矩形；

（2）如图所示：
当PQ切圆于点E，过点Q作QF⊥AB于点F，
则AP=PE=4t，DQ=EQ=20-t，QF=AD=4，PF=DQ-AP=20-t-4t=20-5t，
PQ=DQ+PE=20-t+4t=20+3t，
∵PF²+QF²=PQ ²，
∴（20-5t）²+4²=（20+3t） ²，
解得：t=10+3

11

（舍去）或t=10-3

11

t为10-3

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秒时，直线PQ与以AD为直径的圆相切；
（3）当PQ=4时，⊙P与⊙Q外切．
①如果点P在AB上运动．如图3
只有当四边形APQD为矩形时，PQ=4．
由（1），得t=4（s）；
②如果点P在BC上运动，图右图．
此时t≥5，则CQ≥5，PQ≥CQ≥5＞4，
∴⊙P与⊙Q外离；
③如果点P在CD上运动，且点P在点Q的右侧，如右图．
可得CQ=t，CP=4t-24．当CQ-CP=4时，⊙P与⊙Q外切．
此时，t-（4t-24）=4，
解得 t=

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（s）；
④如果点P在CD上运动，且点P在点Q的左侧，如右图．
当CP-CQ=4时，⊙P与⊙Q外切．
此时，4t-24-t=4，
解得 t=

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3

（s），
∵点P从A开始沿折线A-B-C-D移动到D需要11s，
点Q从C开始沿CD边移动到D需要20s，
而

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3

＜11，
∴当t为4s，

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3

s，

28

3

s时，
⊙P与⊙Q外切．