试题

如图，PQ=10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的⊙O内切于点P，与正方形ABCD切于点Q，其中A、B两点在⊙O上．若AB=m+

n

，其中m、n是整数，求m+n的值．

解：连接OA，
∵两圆内切，
∴P、Q、O共线，设过P、Q、O的直线交AB于R，AB=x，
则OQ=OP-PQ=10，RO=RQ-OQ=x-10，（2分）
∵CD与小圆切于点Q，
∴QR⊥CD，QR⊥AB，
∴根据垂径定理知AR=

1

2

AB=

1

2

x，（4分）
∴在Rt△OAR中，OA²=OR²+AR²，
即(10-x)2+(

x

2

)2=202，（6分）
解得：x=8±

304

，（8分）
而AB=m+

n

，m、n为整数，
∴m=8，n=304，
∴m+n=312．（10分）
故答案为：312．
解：连接OA，
∵两圆内切，
∴P、Q、O共线，设过P、Q、O的直线交AB于R，AB=x，
则OQ=OP-PQ=10，RO=RQ-OQ=x-10，（2分）
∵CD与小圆切于点Q，
∴QR⊥CD，QR⊥AB，
∴根据垂径定理知AR=

1

2

AB=

1

2

x，（4分）
∴在Rt△OAR中，OA²=OR²+AR²，
即(10-x)2+(

x

2

)2=202，（6分）
解得：x=8±

304

，（8分）
而AB=m+

n

，m、n为整数，
∴m=8，n=304，
∴m+n=312．（10分）
故答案为：312．