试题

（2010·青浦区二模）如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点B（6，m）与y轴交于点C，
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；
（3）设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．
问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），
得直线OA为：y=x，双曲线为：y=

9

x

，
点B（6，m）代入y=

9

x

得m=

3

2

，点B（6，

3

2

），（1分）
设直线BC的解析式为y=x+b，由直线BC经过点B，
将x=6，y=

3

2

，代入y=x+b得：b=-

9

2

，（1分）
所以，直线BC的解析式为y=x-

9

2

；（1分）

（2）由直线y=x-

9

2

得点C（0，-

9

2

），
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx-

9

2

将A、B两点的坐标代入y=ax2+bx-

9

2

，得：

9a+3b- 9 2 =3 36a+6b- 9 2 = 3 2

，（1分）
解得

a=- 1 2 b=4

（1分）
所以，抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+4x-

9

2

；（1分）

（3）存在．
把y=-

1

2

x2+4x-

9

2

配方得y=-

1

2

(x-4)2+

7

2

，
所以得点D（4，

7

2

），对称轴为直线x=4（1分）
得对称轴与x轴交点的坐标为E（4，0）．（1分）
由BD=

8

，BC=

72

，CD=

80

，得CD²=BC²+BD²，所以，∠DBC=90°（1分）
又∠PEO=90°，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，则有：
①

OE

BC

=

PE

DB

，即

4

6 2

=

PE

2 2

，得PE=

4

3

，有P₁（4，

4

3

），P₂（4，-

4

3

）
②

OE

DB

=

PE

BC

，即

4

2 2

=

PE

6 2

，得PE=12，有P₃（4，12），P₄（4，-12）（3分）
所以，点P的坐标为（4，

4

3

），（4，-

4

3

），（4，12），（4，-12）．
解：（1）由直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），
得直线OA为：y=x，双曲线为：y=

9

x

，
点B（6，m）代入y=

9

x

得m=

3

2

，点B（6，

3

2

），（1分）
设直线BC的解析式为y=x+b，由直线BC经过点B，
将x=6，y=

3

2

，代入y=x+b得：b=-

9

2

，（1分）
所以，直线BC的解析式为y=x-

9

2

；（1分）

（2）由直线y=x-

9

2

得点C（0，-

9

2

），
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为y=ax2+bx-

9

2

将A、B两点的坐标代入y=ax2+bx-

9

2

，得：

9a+3b- 9 2 =3 36a+6b- 9 2 = 3 2

，（1分）
解得

a=- 1 2 b=4

（1分）
所以，抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+4x-

9

2

；（1分）

（3）存在．
把y=-

1

2

x2+4x-

9

2

配方得y=-

1

2

(x-4)2+

7

2

，
所以得点D（4，

7

2

），对称轴为直线x=4（1分）
得对称轴与x轴交点的坐标为E（4，0）．（1分）
由BD=

8

，BC=

72

，CD=

80

，得CD²=BC²+BD²，所以，∠DBC=90°（1分）
又∠PEO=90°，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，则有：
①

OE

BC

=

PE

DB

，即

4

6 2

=

PE

2 2

，得PE=

4

3

，有P₁（4，

4

3

），P₂（4，-

4

3

）
②

OE

DB

=

PE

BC

，即

4

2 2

=

PE

6 2

，得PE=12，有P₃（4，12），P₄（4，-12）（3分）
所以，点P的坐标为（4，

4

3

），（4，-

4

3

），（4，12），（4，-12）．