试题

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD边的中点，F为AD延长线上一点，且满足DF+BF=BC．
（1）若∠A=90°，AD=3，AB=5，BC=9，求BE的长；
（2）求证：BE平分∠FBC．

（1）解：延长DF、BE交于点G，
∵E为DC中点，
∴DE=CE，
∵AD∥BC，
∴DG∥BC，
∴∠D=∠EBC，∠GDE=∠C，
在△EDG与△ECB中，

∠G=∠EBC ∠GDE=∠C DE=EC

，
∴△EDG≌△ECB（AAS）
∴BC=DG，BE=GE，
∵BC=9，
∴DG=9，
又AD=3，
∴AG=AD+DG=3+9=12，
∴BG=

AB2+AG2

=13，
∴BE=EG，
∴BE=

1

2

BG=

13

2

；

（2）证明：由（1）得DG=BC，
∵DF+BF=BC，
∴DF+BF=DG，
∴BF=FG，
∴∠FBG=∠G，
又∵∠G=∠EBC，
∴∠FBG=∠EBC，
即BE平分∠FBC..
（1）解：延长DF、BE交于点G，
∵E为DC中点，
∴DE=CE，
∵AD∥BC，
∴DG∥BC，
∴∠D=∠EBC，∠GDE=∠C，
在△EDG与△ECB中，

∠G=∠EBC ∠GDE=∠C DE=EC

，
∴△EDG≌△ECB（AAS）
∴BC=DG，BE=GE，
∵BC=9，
∴DG=9，
又AD=3，
∴AG=AD+DG=3+9=12，
∴BG=

AB2+AG2

=13，
∴BE=EG，
∴BE=

1

2

BG=

13

2

；

（2）证明：由（1）得DG=BC，
∵DF+BF=BC，
∴DF+BF=DG，
∴BF=FG，
∴∠FBG=∠G，
又∵∠G=∠EBC，
∴∠FBG=∠EBC，
即BE平分∠FBC..