试题

题目：
青果学院在矩形ABCD中，AD=4，点P在AD上，且AP：PD=a：b
（1）求△PCD的面积S1与梯形ABCP的面积S2的比值
S1
S2
（用含a，b的代数式表示）；
（2）将线段PC绕点P逆时针旋转90°至PE，求△APE的面积S（用含a，b的代数式表示）．
答案
青果学院解：（1）AP=
4a
a+b
，PD=
4b
a+b
，
设AB=h，则S1=
2bh
a+b
，S2=.
(4a+2b)h
a+b
．
∴
S1
S2
=
b
2a+b
．

（2）过E作AD的垂线交AD（或AD的延长线）于点F，过P作BC的垂线交BC于点G．
在Rt△PFE和Rt△PGC中，
PE=PC，∠EPF=∠CPG，∴△PFE≌△PGC，
∴EF=GC=PD=
4b
a+b
．
∴S=
1
2
·AP·EF=
1
2
·
4a
a+b
·
4b
a+b
=
8ab
(a+b)2
．
青果学院解：（1）AP=
4a
a+b
，PD=
4b
a+b
，
设AB=h，则S1=
2bh
a+b
，S2=.
(4a+2b)h
a+b
．
∴
S1
S2
=
b
2a+b
．

（2）过E作AD的垂线交AD（或AD的延长线）于点F，过P作BC的垂线交BC于点G．
在Rt△PFE和Rt△PGC中，
PE=PC，∠EPF=∠CPG，∴△PFE≌△PGC，
∴EF=GC=PD=
4b
a+b
．
∴S=
1
2
·AP·EF=
1
2
·
4a
a+b
·
4b
a+b
=
8ab
(a+b)2
．
考点梳理
梯形；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
（1）AP：PD=a：b，AP=
4a
a+b
，PD=
4b
a+b
，设AB=h，则可表示出△PCD的面积S1与梯形ABCP的面积S2从而可得出答案；
（2）过E作AD的垂线交AD（或AD的延长线）于点F，过P作BC的垂线交BC于点G，证明△PFE≌△PGC即可求解；
本题考查了梯形，难度适中，主要是过E作AD的垂线交AD（或AD的延长线）于点F，过P作BC的垂线交BC于点G．
计算题．
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