试题

题目：
青果学院（2013·德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为
5
2
，tan∠ABC=
3
4
，则CQ的最大值是（　　）



答案
D
解：∵AB为⊙O的直径，
∴AB=5，∠ACB=90°，
∵tan∠ABC=
AC
BC
，
∴
AC
BC
=
3
4
，
∵CP⊥CQ，
∴∠PCQ=90°，
而∠A=∠P，
∴△ACB∽△PCQ，
∴
AC
PC
=
BC
CQ
，
∴CQ=
BC
AC
·PC=
4
3
PC，
当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=
4
3
×5=
20
3
．
故选D．
考点梳理
圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC=
AC
BC
=
3
4
，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=
BN
AC
·PC=
4
3
PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．
计算题；压轴题．
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