试题

题目：
青果学院如图，已知等边△ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于A、B的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，
证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．
答案
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠BAK=∠ABN=120°．
又∠AMK=∠C=60°，
∴∠ABM+∠BAM=∠ABM+∠K，
∴∠K=∠BAM，
∴△ABK∽△BNA，
∴
AB
BN
=
AK
AB
，
即AK·BN=AB2．
故线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠BAC=∠ABC=60°，
∴∠BAK=∠ABN=120°．
又∠AMK=∠C=60°，
∴∠ABM+∠BAM=∠ABM+∠K，
∴∠K=∠BAM，
∴△ABK∽△BNA，
∴
AB
BN
=
AK
AB
，
即AK·BN=AB2．
故线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．
考点梳理
圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．
要想证明线段AK和BN的乘积与M点的选择无关，则需证明它们的乘积是一个定值，根据等边三角形的性质、圆内接四边形的性质和三角形的外角的性质发现△ABK和△BNA中有两个角对应相等，从而证明两个三角形相似，进一步证明即可．
此题综合运用了等边三角形的性质、圆内接四边形的性质、外角的性质、相似三角形的判定和性质．
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