试题

题目：
（2005·荆门）已知，如图，四边形ABCD内接于圆，延长AD、BC相交于点E，点F是BD的延长线上的点，且DE平青果学院分∠CDF
（1）求证：AB=AC；
（2）若AC=3cm，AD=2cm，求DE的长．
答案
青果学院（1）证明：∵∠ABC=∠2，∠2=∠1=∠3，∠4=∠3
∴∠ABC=∠4
∴AB=AC；

（2）解：∵∠3=∠4=∠ABC，∠DAB=∠BAE
∴△ABD∽△AEB
∴
AB
AE
=
AD
AB

∵AB=AC=3，AD=2
∴AE=
AB2
AD
=
9
2

∴DE=
9
2
-2=
5
2
（cm）．
青果学院（1）证明：∵∠ABC=∠2，∠2=∠1=∠3，∠4=∠3
∴∠ABC=∠4
∴AB=AC；

（2）解：∵∠3=∠4=∠ABC，∠DAB=∠BAE
∴△ABD∽△AEB
∴
AB
AE
=
AD
AB

∵AB=AC=3，AD=2
∴AE=
AB2
AD
=
9
2

∴DE=
9
2
-2=
5
2
（cm）．
考点梳理
圆内接四边形的性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）由圆内接四边形的性质，可求得∠ABC=∠2；由于∠1=∠2=∠3=∠4，故∠ABC=∠4，由此得证．
（2）证△ABD∽△AEB，通过相似三角形的对应成比例线段，求出AE及DE的值．
本题综合考查了角平分线，相似三角形，圆内接四边形的性质，是中学阶段的常规题目．
综合题．
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