试题

题目：
青果学院如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB∥CD，AB=4，CD=2，并且
AD
+
BC
=
AB
+
CD
，则四边形ABCD的面积为（　　）



答案
B
青果学院解：过O点作DC的垂线交DC于E，交AB于F，交⊙O于M，N，连OD，OA，如图，
∴DE=EC=1，DM弧=MC弧，
∵AB∥CD，
∴OF⊥AB，AD弧=BC弧，
∴AF=BF=2，AN弧=BN弧，
而且
AD
+
BC
=
AB
+
CD
，
∴AD弧=DM弧+AN弧，
∴AD弧为半圆MN的一半，
∴∠DOA=90°，
∴Rt△ODE≌Rt△OAF，
∴OE=AF=2，OF=DE=1，即EF=3，
∴梯形ABCD的面积=
1
2
·（2+4）·3=9．
故选B．
考点梳理
圆内接四边形的性质；圆心角、弧、弦的关系．
过O点作DC的垂线交DC于E，交AB于F，交⊙O于M，N，连OD，OA，由AB∥CD，得到OF⊥AB，根据垂径定理得到DE=EC=1，DM弧=MC弧，AF=BF=2，AN弧=BN弧，而
AD
+
BC
=
AB
+
CD
，则AD弧为半圆MN的一半，得到∠DOA=90°，易证Rt△ODE≌Rt△OAF，
则OE=AF=2，OF=DE=1，即EF=3，然后利用梯形的面积公式计算即可．
本题考查了圆的内接四边形的性质：对角互补；也考查了垂径定理和梯形的面积公式以及三角形全等的判定与性质．
计算题；压轴题．
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