试题

（2011·金山区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，DE是直角边AB的垂直平分线，∠DBA=∠ABC，连接AD．求证：
（1）四边形ADBC是梯形；
（2）AD=

1

2

BC．

证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠DAB，
∵∠DBA=∠ABC，
∴∠ABC=DAB，
∴AD∥BC，
∵AC与BD不平行，
∴四边形ADBC是梯形，

（2）延长DE交BC于F，
∵∠DBA=∠ABC，∠DEB=∠BEF=90°，BE=BE
∴△BDE≌△BFE，
∴BF=BD=AD，
∵∠BAC=∠BEF=90°
∴DF∥AC
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AD=FC，FC=BF=AD，
∴AD=

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BC．
证明：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠DBA=∠DAB，
∵∠DBA=∠ABC，
∴∠ABC=DAB，
∴AD∥BC，
∵AC与BD不平行，
∴四边形ADBC是梯形，

（2）延长DE交BC于F，
∵∠DBA=∠ABC，∠DEB=∠BEF=90°，BE=BE
∴△BDE≌△BFE，
∴BF=BD=AD，
∵∠BAC=∠BEF=90°
∴DF∥AC
∴四边形ACFD是平行四边形，
∴AD=FC，FC=BF=AD，
∴AD=

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BC．