试题

（2010·娄底）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2，DC=10，AD=BC=5，点M、N分别在AD、BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥DC，NF⊥DC，垂足分别为E、F．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）探究一：四边形MNFE的面积有无最大值？若有，请求出这个最大值；若无，请说明理由；
（3）探究二：四边形MNFE能否为正方形？若能，请求出正方形的面积；若不能，请说明理由．

解：（1）如图，
过点A作AG⊥CD于G，过B作BQ⊥DC于Q，
则AG∥BQ，
∵AB∥DC，
∴四边形AGQB是平行四边形，
∴AB=GQ=2，AG=BQ，
由勾股定理得：DG=

AD2-AG2

，CQ=

BC2-BQ2

，
∵AD=BC，AG=BQ，
∴DG=CQ=（10-2）÷2=4，
在Rt△ADG中，AG=

AD2-DG2

=

52-42

=3，
∴S_梯形ABCD=（2+10）×3÷2=18；

（2）设MN=x，AG与MN交于点O，
∵MN∥CD，
∴△AMO∽△ADG，
∴MO：DG=AO：AG，
即

x-2

2

：

10-2

2

=AO：3，
∴AO=

3x-6

8

，
∴OG=3-

3x-6

8

=

30-3x

8

，
∴S_矩形MNFE=x·

30-3x

8

=

15

4

x-

3

8

x²，
∵二次项系数小于0，
∴当x=5时，四边形MNFE的面积有最大值：[4×（-

3

8

）×0-（

15

4

）²]÷[4×（-

3

8

）]=

75

8

；

（3）当MN=ME时，四边形MNFE能为正方形．
由（2）可得，ME=OG=

30-3x

8

，
则=

30-3x

8

=x，
解得x=

30

11

，
此时，正方形MNFE的面积为：（

30

11

）²=

900

121

．
解：（1）如图，
过点A作AG⊥CD于G，过B作BQ⊥DC于Q，
则AG∥BQ，
∵AB∥DC，
∴四边形AGQB是平行四边形，
∴AB=GQ=2，AG=BQ，
由勾股定理得：DG=

AD2-AG2

，CQ=

BC2-BQ2

，
∵AD=BC，AG=BQ，
∴DG=CQ=（10-2）÷2=4，
在Rt△ADG中，AG=

AD2-DG2

=

52-42

=3，
∴S_梯形ABCD=（2+10）×3÷2=18；

（2）设MN=x，AG与MN交于点O，
∵MN∥CD，
∴△AMO∽△ADG，
∴MO：DG=AO：AG，
即

x-2

2

：

10-2

2

=AO：3，
∴AO=

3x-6

8

，
∴OG=3-

3x-6

8

=

30-3x

8

，
∴S_矩形MNFE=x·

30-3x

8

=

15

4

x-

3

8

x²，
∵二次项系数小于0，
∴当x=5时，四边形MNFE的面积有最大值：[4×（-

3

8

）×0-（

15

4

）²]÷[4×（-

3

8

）]=

75

8

；

（3）当MN=ME时，四边形MNFE能为正方形．
由（2）可得，ME=OG=

30-3x

8

，
则=

30-3x

8

=x，
解得x=

30

11

，
此时，正方形MNFE的面积为：（

30

11

）²=

900

121

．