试题

（2010·永州）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC
（1）求证：BD平分∠ABC
（2）若BC=2AB，求∠C的度数．

（1）证明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD平分∠ABC；

（2）解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∴∠AEF=∠DFE=90°，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=180°-∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD，
∵AD=DC，
∴EF=DC，
∵AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠C，AB=CD，
∵∠AEB=∠DFC=90°，
∴△AEB≌△DFC，
∴BE=CF，
∴CF=

BC-EF

2

=

BC-DC

2

，
∵BC=2AB=2DC，
∴CF=

BC-DC

2

=

2DC-DC

2

=

DC

2

，
在Rt△CFD中，cosC=

CF

DC

=

1

2

，
∴∠C=60°．
（1）证明：∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠ABD=∠DBC，
∴BD平分∠ABC；

（2）解：过A作AE⊥BC于E，过D作DF⊥BC于F，
∴∠AEF=∠DFE=90°，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=180°-∠AEF=90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴EF=AD，
∵AD=DC，
∴EF=DC，
∵AB=DC，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠C，AB=CD，
∵∠AEB=∠DFC=90°，
∴△AEB≌△DFC，
∴BE=CF，
∴CF=

BC-EF

2

=

BC-DC

2

，
∵BC=2AB=2DC，
∴CF=

BC-DC

2

=

2DC-DC

2

=

DC

2

，
在Rt△CFD中，cosC=

CF

DC

=

1

2

，
∴∠C=60°．