试题

题目：
青果学院如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，且BD⊥DC，CD=4．
（1）求AD的长；
（2）求梯形ABCD的面积．
答案
青果学院解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠1=∠2=
1
2
∠ABC=30°．
又∵BD⊥DC，
∴∠C=60°．
∴∠ABC=∠C．
∴AB=CD=4．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠3．
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3．
∴AD=AB=4；

（2）过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△DBC中，∠1=30°，
∴BC=2CD=8．
在Rt△DEC中，∠C=60°，
∴∠4=30°．
∴EC=
1
2
CD=2．
∴DE=
CD2-EC2
=2
3
，
∴S梯形ABCD=
1
2
（AD+BC）·DE=12
3
．
青果学院解：（1）∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠1=∠2=
1
2
∠ABC=30°．
又∵BD⊥DC，
∴∠C=60°．
∴∠ABC=∠C．
∴AB=CD=4．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠3．
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3．
∴AD=AB=4；

（2）过点D作DE⊥BC于点E，
在Rt△DBC中，∠1=30°，
∴BC=2CD=8．
在Rt△DEC中，∠C=60°，
∴∠4=30°．
∴EC=
1
2
CD=2．
∴DE=
CD2-EC2
=2
3
，
∴S梯形ABCD=
1
2
（AD+BC）·DE=12
3
．
考点梳理
梯形；勾股定理．
（1）由在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，易证得△ABD是等腰三角形，由BD⊥DC，∠ABC=60°，易证得梯形ABCD是等腰梯形，继而求得答案；
（2）首先过点D作DE⊥BC于点E，易求得BC的长，然后由勾股定理，可求得DE的长，继而求得答案．
此题考查了等腰梯形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
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