试题

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
（1）求证：△BFC≌△DFC；
（2）求证：AD=DE；
（3）若△DEF的周长为6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面积．

证明：
（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，
∴△DFC≌△BFC（SAS）．

（2）延长DF交BC于G，
∵AD∥BG，AB∥DG，
∴四边形ABGD为平行四边形．
∴AD=BG．
∵△DFC≌△BFC，
∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．
又∵∠3=∠4，
∴△DFE≌△BFG．
∴DE=BG，EF=GF．
∴AD=DE．

（3）∵EF=GF，DF=BF，
∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．
∵DG=AB，
∴BE=AB．
∵C_△DFE=DF+FE+DE=6，
∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．
∴AB+AD=6．
又∵AD=2，
∴AB=4．
∴DG=AB=4．
∵BG=AD=2，
∴GC=BC-BG=5-2=3．
又∵DC=BC=5，
在△DGC中∵4²+3²=5²
∴DG²+GC²=DC²
∴∠DGC=90°．
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）·DG
=

1

2

（2+5）×4
=14．
证明：
（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，
∴△DFC≌△BFC（SAS）．

（2）延长DF交BC于G，
∵AD∥BG，AB∥DG，
∴四边形ABGD为平行四边形．
∴AD=BG．
∵△DFC≌△BFC，
∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．
又∵∠3=∠4，
∴△DFE≌△BFG．
∴DE=BG，EF=GF．
∴AD=DE．

（3）∵EF=GF，DF=BF，
∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．
∵DG=AB，
∴BE=AB．
∵C_△DFE=DF+FE+DE=6，
∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．
∴AB+AD=6．
又∵AD=2，
∴AB=4．
∴DG=AB=4．
∵BG=AD=2，
∴GC=BC-BG=5-2=3．
又∵DC=BC=5，
在△DGC中∵4²+3²=5²
∴DG²+GC²=DC²
∴∠DGC=90°．
∴S_梯形ABCD=

1

2

（AD+BC）·DG
=

1

2

（2+5）×4
=14．