试题

（2009·徐州模拟）已知四边形ABCD（不是平行四边形）中，AD与BC不平行，E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点．
（1）证明：四边形EFGH是平行四边形；
（2）图中不再添加其它的点和线，根据现有条件，在空格内分别添加一个你认为正确的条件，使下列命题成立：
①当四边形ABCD满足条件时，四边形EFGH是菱形；
②当四边形ABCD满足条件时，四边形EFGH是矩形．

解：（1）∵E、F、G、H分别是线段AB、AC、CD、BD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△ACD的中位线，
∴EH∥AD，FG∥AD，EH=

1

2

AD，FG=

1

2

AD，
∴EH∥FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）AD=BC；
∵EH、HG分别是△ABD、△BCD的中位线，
∴EH=

1

2

AD，HG=

1

2

BC，
∵AD=BC，
∴EH=HG，
∴平行四边形EFGH是菱形．

（3）AD⊥BC．
∵EH、HG分别是△ABD、△BCD的中位线，
∴EH∥AD，HG∥BC，
∵AD⊥BC，
∴EH⊥HG，∠EHG=90°
∴平行四边形EFGH是矩形．