试题

如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别交边AD于E、F．
（1）求证：AF=ED；
（2）若BG=GC，判定四边形ABCD是什么特殊平行四边形？并说明理由．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理DF=CD，
∴AE=DF，
即AE-EF=DF-EF，
∴AF=DE．

（2）解：平行四边形ABCD是矩形，
理由是：∵CF平分∠DCB，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=

1

2

∠ABC，∠DCF=∠BCF=

1

2

∠DCB，
∵BG=CG，
∴∠GBC=∠GCB，
∴∠ABC=∠DCB，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理DF=CD，
∴AE=DF，
即AE-EF=DF-EF，
∴AF=DE．

（2）解：平行四边形ABCD是矩形，
理由是：∵CF平分∠DCB，BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=

1

2

∠ABC，∠DCF=∠BCF=

1

2

∠DCB，
∵BG=CG，
∴∠GBC=∠GCB，
∴∠ABC=∠DCB，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．