试题

（1）如图1，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．
求证：①△ABF≌△DCE；②四边形ABCD是矩形．
（2）如图2，已知△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．
①请用尺规作图的方法，过点D作DM⊥BE，垂足为M；（不写作法，保留作图痕迹）
②求证：BM=EM．

（1）证明：①如图1，在平行四边形ABCD中，AB=CD．
∵BE=CF，
∴BF=CE，
∴在△ABF与△DCE中，

AB=CD BF=CE AF=DE

，
∴△ABF≌△DCE（SSS）；
②由①知，△ABF≌△DCE，则∠B=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）①如图2所示：
②如图2，∵△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACB，
又∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE=

1

2

∠ACB，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE
又∵DM⊥BE，
∴BM=EM．
（1）证明：①如图1，在平行四边形ABCD中，AB=CD．
∵BE=CF，
∴BF=CE，
∴在△ABF与△DCE中，

AB=CD BF=CE AF=DE

，
∴△ABF≌△DCE（SSS）；
②由①知，△ABF≌△DCE，则∠B=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）①如图2所示：
②如图2，∵△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACB，
又∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE=

1

2

∠ACB，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE
又∵DM⊥BE，
∴BM=EM．