如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动-青果题库-青果学院

题目：

（2009·江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
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答案

解：（1）如图1，过点E作EG⊥BC于点G．
∵E为AB的中点，
∴BE=

1

2

AB=2
在Rt△EBG中，∠B=60°，∴∠BEG=30度．
∴BG=

1

2

BE=1，EG=

22-12

=

3

即点E到BC的距离为

3

（2）①当点N在线段AD上运动时，△PMN的形状不发生改变．
∵PM⊥EF，EG⊥EF，
∴PM∥EG，又EF∥BC，
∴四边形EPMG为矩形，
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∴EP=GM，PM=EG=

3

同理MN=AB=4．
如图2，过点P作PH⊥MN于H，
∵MN∥AB，
∴∠NMC=∠B=60°，又∠PMC=90°，
∴∠PMH=∠PMC-∠NMC=30°．
∴PH=

1

2

PM=

3

2

∴MH=PM·cos30°=

3

2

则NH=MN-MH=4-

3

2

=

5

2

在Rt△PNH中，PN=

NH2+PH2

=

(

5

2

)2+(

3

2

)2

=

7

∴△PMN的周长=PM+PN+MN=

3

+

7

+4

②当点N在线段DC上运动时，△PMN的形状发生改变，但△MNC恒为等边三角形．
当PM=PN时，如图3，作PR⊥MN于R，则MR=NR．青果学院

类似①，PM=

3

，∠PMR=30°，
MR=PMcos30°=

3

×

3

2

=

3

2

，
∴MN=2MR=3．
∵△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=3．
此时，x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2．
当MP=MN时，青果学院

∵EG=

3

，
∴MP=MN=

3

，
∵∠B=∠C=60°，
∴△MNC是等边三角形，
∴MC=MN=MP=

3

（如图4），
此时，x=EP=GM=6-1-

3

=5-

3

，

当NP=NM时，如图5，∠NPM=∠PMN=30度．
则∠PNM=120°，又∠MNC=60°，
∴∠PNM+∠MNC=180度．
因此点P与F重合，△PMC为直角三角形．
∴MC=PM·tan30°=1．
此时，x=EP=GM=6-1-1=4．
综上所述，当x=2或4或（5-

3

）时，△PMN为等腰三角形．
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